§ 5.13. Примеры решения задач

При решении задач на применение материала этой главы используется формула (5.1.2) или (5.1.3) для вычисления работы при изобарном изменении объема газа, выражение (5.2.5) для количества теплоты, полученного телом при его нагревании или отданного им при охлаждении, а также уравнение теплового баланса (5.2.6). Значительное количество задач решается с помощью первого закона термодинамики в форме ΔU = А + Q или Q = ΔU + А'. Надо иметь в виду, что величины A, Q и ΔU могут быть как положительными, так и отрицательными. В ряде случаев используются частные формулировки первого закона термодинамики для изотермического, изобарного, изохорного и адиабатного процессов. При решении задач на тепловые двигатели применяются выражения для КПД (5.11.2) и (5.12.13). Во многих случаях понадобится применять газовые законы и выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа

Задача1

Вычислите работу идеального газа массой m при его изобарном нагревании на ΔТ. Решение. Обозначим постоянное давление газа через р, начальный и конечный объемы газа — соответственно через V₁ и V₂, а начальную и конечную температуры — через Т₁ и Т₂. Согласно уравнению Менделеева—Клапейрона имеем

где М — молярная масса газа. Вычитая почленно из второго уравнения первое, получим

Ho p(V₂ - V₁) = А' — работа газа. Следовательно,

Полученную формулу полезно запомнить и применять при решении других задач.

Задача 2

В каком случае вода в бадье нагревается больше: при опускании в нее горячего камня или такого же по объему нагретого до той же температуры куска металла? Удельные теплоемкости камня и металла относятся как 2:1, плотности как 3:13. Решение. Пренебрегая тепловыми потерями, запишем уравнения теплового баланса для двух пар веществ: вода — камень и вода — металл:

где с_в, с_к, с_м— удельные теплоемкости воды, камня и металла; m_в— масса воды в бадье; ρ_к и ρ_м — плотности камня и металла; V — объем камня (металла); t₁ — начальная температура воды в бадье; t₂ — начальная температура камня (металла); t — температура, установившаяся в бадье после опускания в нее камня, a t' — после опускания металла. Перепишем уравнения (5.13.2) так:

Разделив почленно первое уравнение на второе, получим

Решение Так как то уравнение (5.13.4) принимает вид

Решение Относительно температур t и t' можно высказать три предположения: 1) t > t'; 2) t = t' и 3) t < t'. В первом случае в уравнении (5.13.3) левая часть больше единицы, а правая меньше. Значит, первое предположение несправедливо. Во втором случае (t = t') левая часть уравнения (5.13.5) равна единице, а правая равна Следовательно, неверно и второе предположение. Таким образом, правильным является третье утверждение: t < t', т. е. при опускании металла вода нагреется больше.

Задача 3

После опускания в воду, имеющую температуру t₁ = 10 °С, тела, нагретого до температуры t₂ = 100 °С, через некоторое время установилась общая температура t = 40 °С. Какой станет температура воды t', если, не вынимая первого тела, в нее опустить еще одно такое же тело, нагретое тоже до температуры t₂ = 100 °С? Решение. Пренебрегая нагреванием сосуда и тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса после опускания первого тела:

с_вт_в (t - t₁) + c_Tm_T (t - t₂) = 0, (5.13.6) Преобразуем уравнения (5.13.6) и (5.13.7) так:

После почленного деления второго уравнения на первое получим

Задача 4

В цилиндре под тяжелым поршнем, перемещающимся без трения, находится углекислый газ массой m = 20 г. Газ нагревается от температуры t₁ = 20 °С до температуры t₂ = 108 °С. Какое количество теплоты было при этом сообщено газу? Молярная теплоемкость углекислого газа (теплоемкость 1 моль) при постоянном объеме C_V = 28,8 Дж/(К • моль). Решение. Молярная теплоемкость при постоянном давлении согласно формуле (5.6.7) равна

С_р = C_V + R. Удельная теплоемкость

Удельная теплоемкость где М — молярная масса газа. Следовательно, искомое количество теплоты

Задача 5

В двух цилиндрах, имеющих объемы V₁ = 3 л и V₂ = 5 л, находится одинаковый газ при давлениях р₁ = 0,4 МПа и р₂ = 0,6 МПа и температурах t₁ = 27 °С и t₂ = 127 °С. Цилиндры соединяют трубкой с краном. Определите, какая температура Т и какое давление р установятся в цилиндрах после того, как кран соединительной трубки будет открыт. Решение. Внутренние энергии газа в первом цилиндре, газа во втором цилиндре и газа в цилиндрах после смешивания соответственно равны U₁ = bν₁T₁, U₂ = bν₂T₂ и U = b(ν₁ + ν₂)T. Здесь b — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы газа (для одноатомного газа