§ 2.3. Формула Томсона (окончание)

Строгий вывод формулы Томсона

Решение уравнения (2.3.11) в общем случае, т. е. нахождение зависимости заряда и силы тока от времени, слишком сложно. Мы ограничимся случаем, когда резистор в контуре отсутствует и членом iR = -q'R можно пренебречь. Тогда уравнение (2.3.11) упрощается и его можно записать в виде

Теперь, наконец, вы в полной мере сможете оценить те усилия, которые были затрачены для изучения колебаний груза на пружине и математического маятника. Ведь уравнение (2.3.12) ничем, кроме обозначений, не отличается от уравнения (1.2.4), описывающего колебания груза на пружине. При замене m → L, а_х = х" → q", и х → q мы в точности получим уравнение (2.3.12) вместо (1.2.4).

Но уравнение (1.2.4) или эквивалентное ему уравнение (1.4.1) нами уже решено. Поэтому, зная, как колеблется груз, мы сразу можем сказать, как происходят колебания в контуре.

Разделив правую и левую части уравнения (2.3.12) на! и введя обозначение

А это то же самое, что и уравнение (1.4.1). В уравнении (1.4.1) ω₀ — циклическая частота колебаний. Значит, и величина ω₀, определяемая выражением (2.3.13), тоже является частотой колебаний, но теперь уже частотой электрических колебаний (заряда, силы тока и других величин). Период свободных колебаний в контуре равен:

Это и есть формула Томсона.

Конечно, и без каких-либо уравнений мы могли бы сообразить, что период Т должен увеличиваться с ростом индуктивности L и емкости С. Действительно, при увеличении L сила тока медленнее нарастает со временем и медленнее падает до нуля. А чем больше емкость, тем большее время требуется для перезарядки конденсатора. Но получить формулу (2.3.15) строго без уравнения (2.3.14) мы бы не смогли.

Гармонические колебания заряда и силы тока

Подобно тому, как координата при механических колебаниях меняется по гармоническому закону, точно также заряд конденсатора меняется по закону синуса или косинуса:

q = q_m sin (ω₀t + φ₀) или q = q_m cos (ω₀t + φ₀). (2.3.16)

Здесь q_m — амплитуда колебаний заряда, а φ₀ — начальная фаза колебаний. Эти величины определяются начальными условиями, т. е. значениями заряда и силы тока в начальный момент времени: q(0) = q₀ и i(0) = i₀.

Если в начальный момент времени g(0) = q₀, а i(0) = 0, то колебания совершаются по косинусоидальному закону с нулевой начальной фазой* и амплитудой q_m = q₀:

q = q₀ cos ω₀t. (2.3.17)

* Именно такой случай описан в § 2.2, когда колебания в контуре начинались после замыкания цепи предварительно заряженного конденсатора.

Точно так же изменяется координата груза на пружине, если вы вывели груз из положения равновесия и не сообщили ему начальной скорости.

Сила тока также совершает гармонические колебания. Если q = q_m cos (ω₀t + φ₀), то

где I_m = ω₀q_m — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока смещены по фазе относительно колебаний заряда на . При начальных условиях q(0) = q₀, i(0) = 0

Колебания заряда и силы тока для этого случая графически представлены на рисунке 2.8.

В действительности из-за энергетических потерь колебания будут затухающими. Чем больше сопротивление R, тем больше будет период колебаний. При достаточно большом сопротивлении колебания не возникают. Конденсатор разрядится, но перезарядки не произойдет.

<<< К началу параграфа