10.1. Постройте плоскость, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через данную:
а) точку;
б) пересекающую её прямую.
10.2. Какие пары взаимно перпендикулярных плоскостей можно указать в:
а) кубе;
б) прямоугольном параллелепипеде;
в) прямоугольном тетраэдре, т. е. в тетраэдре, три ребра которого, идущие из одной вершины, взаимно перпендикулярны;
г) правильной четырёхугольной пирамиде (плоскости определяются вершинами этих многогранников)?
10.3. Через середины сторон правильного многоугольника проведены плоскости, перпендикулярные этим сторонам. Докажите, что эти плоскости имеют общую прямую, которая перпендикулярна плоскости многоугольника.
Задачи к п. 10.1
10.4.
а) Какой из занумерованных углов на рисунке 96 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вы можете записать как линейный угол двугранного угла между гранями этого параллелепипеда и его диагональными плоскостями?
Рис. 96
б) На рисунке 97 изображён правильный тетраэдр РАВС. Точки K1 К2, К3 — середины его рёбер.
Рис. 97
Точка О —центр основания. Какой из занумерованных углов вы можете записать как линейный угол двугранного угла между гранями тетраэдра и плоскостями его сечений?
10.5. На рисунке 98 изображена пирамида PABCD, все рёбра которой равны. Точки K1, К2, К3, К4, К5 — середины рёбер пирамиды, точка О —центр её основания. Укажите, линейным углом какого двугранного угла является каждый из занумерованных углов.
10.7. В пирамиде PABCD все рёбра равны. Нарисуйте линейные углы двугранных углов:
а) при ребре AD;
б) при ребре PD;
в) образованных гранями PAD и РВС.
10.8. Дана прямая треугольная призма. Как вычислить углы между её боковыми гранями? Сделайте обобщение для n-угольной прямой призмы.
10.9. Две боковые грани прямой треугольной призмы перпендикулярны, а третья составляет с одной из них угол φ.
а) Какой угол она составляет с другой гранью?
б) Пусть наибольшее ребро основания этой призмы равно 1. Чему равны остальные рёбра основания?
10.10. Плоскости α, β, γ пересекаются по трём параллельным прямым. Плоскость α образует с α и γ угол φ. Найдите угол между α и γ.
10.11. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Вычислите угол φ, образованный плоскостями:
а) АВ1С1 и АВС;
б) BB1D1 и АА1С;
в) DA1C1 и BA1C1.
10.12. Дан правильный тетраэдр. Вычислите угол φ, образованный:
а) его гранями;
б) плоскостями, проходящими через боковое ребро и высоту тетраэдра.
10.13. В треугольной пирамиде РАВС ребро РВ перпендикулярно (ABC). Треугольник ABC равносторонний. Как вы будете искать угол между плоскостями:
а) РАВ и РВС;
б) РАС и ВАС;
в) РАС и РВС?
10.14. Дана четырёхугольная пирамида PABCD, в основании которой квадрат, и ребро РВ перпендикулярно основанию. Как вы будете искать угол между плоскостями:
a) PAD и АВС;
б) PCD и АВС;
в) PAD и PCD;
г) PAD и РСВ?
10.15. Укажите все пары перпендикулярных плоскостей на рисунке 83. Если таковых не окажется, то при каких дополнительных условиях они появятся?
10.16. Треугольники АВС и ABD прямоугольные (∠B = 90°) и лежат в перпендикулярных плоскостях. Докажите, что:
a) (ABC) ⊥ (BCD)',
б) (ABD) ⊥ (BCD)]
в) плоскость ACD не перпендикулярна плоскостям этих треугольников.
10.17. Треугольники АВС и ABD равносторонние и лежат в перпендикулярных плоскостях,
а) Докажите, что плоскость CDK перпендикулярна плоскости каждого из них, если точка К — середина стороны АВ.
б) Докажите, что другой такой же плоскости, как (CDK) (см. случай «а»), через прямую CD не провести,
в) Будут ли перпендикулярны плоскости ACD и BCD? Изменятся ли результаты, если вместо равносторонних треугольников взять равные равнобедренные треугольники с основанием АВ?
Задачи к п. 10.2
10.18. Два квадрата ABCD и АВС1D1 лежат во взаимно перпендикулярных плоскостях. Докажите, что:
a) AD ⊥ (АВС1);
б) ВС1 ⊥ (ADC);
в) АС не перпендикулярен плоскости ABD1,
г) отметьте точку на CD и нарисуйте из неё перпендикуляр на плоскость АВС1;
д) отметьте точку на BD1 и нарисуйте из неё перпендикуляр на (ABC).
10.19. Два равносторонних треугольника AВС и ABD лежат в перпендикулярных плоскостях,
а) Нарисуйте перпендикуляр из точки D на плоскость AВС;
б) отметьте точку L на АС и нарисуйте перпендикуляр из L на плоскость ABD]
в) нарисуйте перпендикуляр, проходящий через точку В к плоскости AВС;
г) какие точки этих треугольников наиболее удалены друг от друга?
10.20. Основанием четырёхугольной пирамиды является равнобедренная трапеция и две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания трапеции. Нарисуйте высоту пирамиды. Рассмотрите два случая:
перпендикулярны основанию соседние грани и
перпендикулярны основанию противоположные грани. Как, зная длины рёбер, вычислить высоту пирамиды?
Задачи к п. 10.3
10.21. Два квадрата ABCD и ABKL лежат в перпендикулярных плоскостях.
Докажите, что:
а) плоскость ADL перпендикулярна плоскости каждого квадрата;
б) плоскость ВСК перпендикулярна плоскости каждого квадрата;
в) (ADK) ⊥ (ABK);
г) (АСL) ⊥ (АВС);
д) (KLD) ⊥ [ADL);
е) (ADK) ⊥ (BCL).
Будут ли перпендикулярны плоскости BDK и ACL?
Какой угол образуют с плоскостями квадратов плоскости:
a) CDL;
б) KLM, где М — середина CD;
в) АСК?
Какой угол образуют плоскости АСК и BDL?
10.22. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте его сечение плоскостью, которая:
а) проходит через точку А и перпендикулярна плоскости ABC;
б) проходит через точку А и перпендикулярна плоскости BB1D;
в) проходит через точку А и перпендикулярна плоскости BA1D;
г) проходит через прямую АС1 и перпендикулярна плоскости A1B1D1;
д) проходит через прямую AD1 и перпендикулярна плоскости BDD1.
10.23. Дана правильная четырёхугольная пирамида PABCD. Нарисуйте её сечение плоскостью, проходящей через:
а) вершину Р и перпендикулярной основанию;
б) ребро РА и перпендикулярной плоскости PBD;
в) высоту пирамиды PQ и перпендикулярной плоскости CPD.
10.24. В четырёхугольной пирамиде основанием является прямоугольник. Две соседние боковые её грани перпендикулярны основанию. Укажите все пары перпендикулярных граней этой пирамиды.