Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 11

• 11.1. Докажите, что параллельны плоскости:
  • а) противоположных граней прямоугольного параллелепипеда;
  • б) оснований прямой призмы.

Задачи к п. 11.1

• 11.2.
  • а) Два прямоугольника ABCD и DCFE не лежат в одной плоскости. Объясните, почему плоскости ADE и BCF параллельны,
  • б) Два прямоугольника, не лежащие в одной плоскости, имеют общую среднюю линию. Докажите, что их пересекающиеся стороны лежат в параллельных плоскостях.

• 11.3. Имеется деревянный брус прямоугольного сечения. Как получить два параллельных его распила?
• 11.4. Объясните, почему часовая и минутная стрелки часов движутся в параллельных плоскостях.
• 11.5.
  • а) Бетонная плита в форме прямоугольного параллелепипеда удерживается краном на четырёх тросах равной длины. Как закрепить тросы на плите, чтобы она была в горизонтальном положении?
  • б) Как за крюк на потолке с помощью трёх верёвок подвесить кольцо так, чтобы плоскость его была горизонтальна?

Задачи к п. 11.2

• 11.6. Исследуем Будут ли две плоскости параллельны, если:
  • а) они пересекают третью по параллельным прямым;
  • б) они проходят через две параллельные прямые;
  • в) каждая плоскость, пересекающая одну из них, пересекает и другую?
• 11.7.
  • а) Глядя на рисунок 104, а, скажите, как расположены плоскости β и γ.
  • б) Глядя на рисунок 104, б, скажите, как расположены прямые а и b, если известно, что плоскости α и β параллельны.

Рис. 104

• 11.8. Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед, точка Р— центр симметрии грани A₁B₁C₁D₁. Нарисуйте его сечение плоскостью, проходящей через Р и перпендикулярно:
  • а) (А₁В₁);
  • б) (AD).

Задачи к п. 11.3

• 11.9. Дана правильная пирамида РАВС. Точка О — центр её основания.
  1. Нарисуйте сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости ABC и проходящей через:
     • а) точку Т на ребре РБ;
     • б) точку М внутри медианы PL грани РАС;
     • в) точку К внутри отрезка РО.
  2. Докажите, что каждое такое сечение (см. случаи а) — в) из п. 1) будет равносторонним треугольником.
  3. Какую часть составляет площадь сечения (см. случаи а) — в) из п. 1) от площади треугольника ABC, когда оно проходит через середину данного отрезка?
• 11.10.
  • а) Решите предыдущую задачу для правильной четырёхугольной пирамиды.
  • б) Какие предположения вы можете сделать для правильной n-угольной пирамиды?

• 11.11.
  1. Нарисуйте сечение прямоугольного параллелепипеда ABСDA₁B₁С₁D₁ плоскостью, проходящей параллельно плоскости ABC через точку внутри отрезка:
     • а) АА₁;
     • б) CD₁;
     • в) B₁D.
  2. Докажите, что это сечение в каждом случае (см. а) — в) из п. 1) будет прямоугольником.
• 11.12. Составьте и решите предыдущую задачу для правильной призмы.
• 11.13. Ученик сказал: «Если две плоскости перпендикулярны третьей и проходят через параллельные прямые, то они параллельны». А учитель опроверг это утверждение. Как?