г) объединение двух треугольников без общих точек.
23.2. Вращаясь вокруг одного из рёбер многогранника, плоскость даёт такие сечения:
а) равнобедренный треугольник;
б) прямоугольник;
в) параллелограмм;
г) равнобедренную трапецию.
23.3. Нарисуйте такой многогранник. Нарисуйте многогранник:
а) все грани которого — треугольники, но не тетраэдр;
б) все грани которого — квадраты, но не куб;
в) все грани которого — неравные четырёхугольники;
г) все грани которого — пятиугольники;
д) четыре грани которого — правильные треугольники, а ещё четыре — правильные шестиугольники.
23.4. Нарисуйте разные многогранники, которые могут получиться в пересечении пяти полупространств; шести полупространств.
23.5. На рисунке 214 изображены проекции на три попарно ортогональные плоскости некоторых частей куба. Какими многогранниками являются эти части? Опишите эти многогранники. Сделайте рисунки.
Рис. 214
23.6. Многогранник М1 называется вписанным в многогранник М2, если каждая вершина М1 лежит на поверхности М2. Нарисуйте тетраэдр РАВС и вписанный в него многогранник M1, такой, что:
а) на каждом ребре тетраэдра лежит ровно одна вершина М1;
б) на каждой грани тетраэдра лежит ровно одна вершина М1;
в) на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины M1.
Решите аналогичные задачи для куба. Кроме того, нарисуйте разные многогранники, вписанные в куб, вершины которых находятся в вершинах куба.
23.7. Нарисуйте разные развёртки правильного тетраэдра. При получении многогранника из развёртки некоторые стороны развёртки склеиваются, в результате чего получается шов. Из некоторых соображений целесообразно общую длину швов уменьшить. Выберите из нарисованных развёрток ту, у которой общая длина швов наименьшая.
23.8. Нарисуйте многогранник, развёртка которого имеет такой вид, как на рисунке 215.
Рис. 215
23.9. Приведите пример многогранника, около которого:
а) можно описать сферу;
б) нельзя описать сферу.
23.10. Приведите пример многогранника, в который:
а) можно вписать сферу;
б) нельзя вписать сферу.
23.11. Является ли многоугольником пересечение двух любых многоугольников? Ответьте на аналогичный вопрос для многогранников.
23.12. Многоугольник разделили прямой на две части. Будут ли полученные части многоугольниками? Ответьте на аналогичный вопрос для многогранников.
23.13. Трёхгранные углы с выпуклыми гранями являются стереометрическими аналогами плоских треугольников,
а) Сформулируйте и докажите теоремы о равенстве трёхгранных углов,
б) Что является для трёхгранных углов аналогами биссектрис, медиан и высот треугольников?
Сформулируйте и докажите для трёхгранных углов теоремы, аналогичные теоремам о замечательных точках треугольников.
