Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 23

• 23.1. Нарисуйте многогранник, у которого сечениями могут быть:
  • а) квадрат, прямоугольник, правильный шестиугольник;
  • б) равносторонний треугольник, квадрат, трапеция;
  • в) ромб, равнобедренный треугольник, прямоугольник;
  • г) объединение двух треугольников без общих точек.

• 23.2. Вращаясь вокруг одного из рёбер многогранника, плоскость даёт такие сечения:
  • а) равнобедренный треугольник;
  • б) прямоугольник;
  • в) параллелограмм;
  • г) равнобедренную трапецию.
• 23.3. Нарисуйте такой многогранник. Нарисуйте многогранник:
  • а) все грани которого — треугольники, но не тетраэдр;
  • б) все грани которого — квадраты, но не куб;
  • в) все грани которого — неравные четырёхугольники;
  • г) все грани которого — пятиугольники;
  • д) четыре грани которого — правильные треугольники, а ещё четыре — правильные шестиугольники.
• 23.4. Нарисуйте разные многогранники, которые могут получиться в пересечении пяти полупространств; шести полупространств.
• 23.5. На рисунке 214 изображены проекции на три попарно ортогональные плоскости некоторых частей куба. Какими многогранниками являются эти части? Опишите эти многогранники. Сделайте рисунки.

  

  Рис. 214

• 23.6. Многогранник М₁ называется вписанным в многогранник М₂, если каждая вершина М₁ лежит на поверхности М₂. Нарисуйте тетраэдр РАВС и вписанный в него многогранник M₁, такой, что:
  • а) на каждом ребре тетраэдра лежит ровно одна вершина М₁;
  • б) на каждой грани тетраэдра лежит ровно одна вершина М₁;
  • в) на каждой грани тетраэдра лежат ровно две вершины M₁.

  Решите аналогичные задачи для куба. Кроме того, нарисуйте разные многогранники, вписанные в куб, вершины которых находятся в вершинах куба.

• 23.7. Нарисуйте разные развёртки правильного тетраэдра. При получении многогранника из развёртки некоторые стороны развёртки склеиваются, в результате чего получается шов. Из некоторых соображений целесообразно общую длину швов уменьшить. Выберите из нарисованных развёрток ту, у которой общая длина швов наименьшая.
• 23.8. Нарисуйте многогранник, развёртка которого имеет такой вид, как на рисунке 215.

  

  Рис. 215

• 23.9. Приведите пример многогранника, около которого:
  • а) можно описать сферу;
  • б) нельзя описать сферу.

• 23.10. Приведите пример многогранника, в который:
  • а) можно вписать сферу;
  • б) нельзя вписать сферу.
• 23.11. Является ли многоугольником пересечение двух любых многоугольников? Ответьте на аналогичный вопрос для многогранников.
• 23.12. Многоугольник разделили прямой на две части. Будут ли полученные части многоугольниками? Ответьте на аналогичный вопрос для многогранников.
• 23.13. Трёхгранные углы с выпуклыми гранями являются стереометрическими аналогами плоских треугольников,
  • а) Сформулируйте и докажите теоремы о равенстве трёхгранных углов,
  • б) Что является для трёхгранных углов аналогами биссектрис, медиан и высот треугольников?

  Сформулируйте и докажите для трёхгранных углов теоремы, аналогичные теоремам о замечательных точках треугольников.