Геометрия
10-11 классы

§ 24. Правильные и полуправильные многогранники. Симметрия фигур

24.1 Правильные многогранники

Правильным называется многогранник, у которого все элементы одного и того же вида равны, т. е. равны все рёбра, углы граней и двугранные углы.

Грани правильного многогранника — правильные многоугольники, так как у них все стороны (рёбра) равны и углы равны. По этой же причине все его грани равны между собой.

Ещё в Древней Греции было известно, что правильных многогранников существует всего пять видов. Два из них вы хорошо знаете — правильный тетраэдр и куб. Перечислим остальные три вида.

Восьмигранник — многогранник, у которого грани — правильные треугольники, сходящиеся по четыре в каждой вершине. Он называется правильным октаэдром или просто октаэдром, что и означает в переводе с греческого «восьмигранник» (рис. 216, а).

Рис. 216

Двадцатигранник — многогранник, у которого все грани — правильные треугольники, сходящиеся по пять в каждой вершине. Он называется икосаэдром, что и означает в переводе с греческого «двадцатигранник» (рис. 216, б).

Двенадцатигранник — многогранник, у которого все грани — правильные пятиугольники, сходящиеся по три в каждой вершине. Он называется додекаэдром, что и означает в переводе с греческого «двенадцатигранник» (рис. 216, в).

24.2 Построение правильных многогранников

Как построить куб и правильный тетраэдр, вам известно.

Для построения октаэдра строим сначала четырёхугольную пирамиду, боковые грани которой будут правильными треугольниками (рис. 217, а). Октаэдр составляется из двух таких пирамид, сложенных основаниями (рис. 217, б).

Рис. 217

Икосаэдр можно построить так. Возьмём в одной плоскости два правильных пятиугольника со стороной а с общим центром, повёрнутые один относительно другого на 36° (рис. 218, а). Расстояние d между их соседними вершинами равно , или . Раздвинем параллельно плоскости этих пятиугольников на расстояние h так, чтобы центры пятиугольников соединял общий перпендикуляр их плоскостей. Соединим последовательно их вершины (рис. 218, б).

Рис. 218

Получим многогранник (пятиугольную антипризму), ограниченный двумя пятиугольными основаниями и десятью треугольными боковыми гранями. Если , то боковые грани антипризмы — правильные треугольники со стороной а.

Чтобы достроить его до икосаэдра, на его основаниях строят две правильные пятиугольные пирамиды, боковые грани которых — правильные треугольники (рис. 219). Икосаэдр составлен из этой пятиугольной антипризмы и этих двух пирамид.

Рис. 219

Чтобы построить додекаэдр, воспользуемся следующим свойством правильных многогранников.

Центры граней любого правильного многогранника Р являются вершинами другого правильного многогранника Р₁. Рёбра многогранника Р₁ соединяют центры соседних граней многогранника Р.

Так, соединяя центры соседних граней куба, получаем рёбра октаэдра (рис. 220, а). Если же соединить центры соседних граней октаэдра, то получим рёбра куба (рис. 220, б). Говорят, что куб и октаэдр двойственны друг другу: граням одного соответствуют вершины другого, и обратно.

Рис. 220

Додекаэдр и икосаэдр тоже двойственны друг другу. Поэтому, соединяя отрезками центры соседних граней икосаэдра, получим рёбра додекаэдра (рис. 220, в). Верно и обратное (рис. 220, г). Правильный тетраэдр двойствен сам себе.

24.3 Преобразования симметрии

Центральной симметрией фигуры с центром О называется такое преобразование этой фигуры, которое сопоставляет каждой её точке точку, симметричную относительно О (рис. 221, а).

Рис. 221

Отражением фигуры в плоскости α (или зеркальной симметрией) называется такое преобразование, при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно плоскости α (рис. 221, б). (Отражение в плоскости называется также симметрией относительно этой плоскости.)

Наконец, осевая симметрия определяется так же, как на плоскости (рис. 221, в).

Все эти преобразования являются движениями, т. е. сохраняют расстояния. То, что центральная симметрия является движением, доказывается так же, как в планиметрии (рис. 222, а). Покажем, что зеркальная симметрия является движением.

Рис. 222

Действительно, пусть точки А', В' симметричны точкам А, В относительно плоскости α. Отрезки АА', ВВ' перпендикулярны α, а потому параллельны. Следовательно, они лежат в одной плоскости β (рис. 222, б). По признаку перпендикулярности плоскостей плоскости α и β перпендикулярны. Они пересекаются по некоторой прямой а. Точки А и А', а также B и B' симметричны в плоскости β относительно прямой а, так как отрезки А А' и ВВ' перпендикулярны прямой а и делятся ею пополам.

В планиметрии же было доказано, что симметрия в плоскости относительно прямой является движением, т. е. сохраняет расстояния. Поэтому А'В' = АВ' т. е. отражение в плоскости — движение.

Отражение в плоскости осуществляется реально при отражении в зеркале: изображение предмета в плоском зеркале соответствует предмету именно так, как при геометрическом отражении в плоскости зеркала. Это следует из закона отражения света (рис. 223, а).

Рис. 223

Отражение в плоскости имеет различные технические применения. Например, луч любого направления, отразившись от трёх взаимно перпендикулярных зеркал, возвращается точно в противоположном направлении (рис. 223, б).

На этом основан уголковый отражатель, отправленный в своё время на Луну. Из систем таких отражателей состоят красные сигнальные знаки сзади у автомашин и велосипедов.

24.4 Поворот

Примеров реальных поворотов вокруг прямой очень много: поворот двери, колеса вокруг оси, пропеллера, ворота колодца и т. п. (рис. 224, а).

Рис. 224

В геометрии же поворотом фигуры вокруг прямой а на угол φ называется преобразование, которое осуществляется так: в каждой плоскости, перпендикулярной прямой а и пересекающей фигуру, происходит поворот вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой а на угол φ в одном и том же направлении для всех плоскостей (рис. 224, б).

Прямая а называется осью поворота, угол φ — углом поворота. Поворот задаётся осью, углом и направлением поворота в какой-либо плоскости, перпендикулярной оси.

Из определений фигуры вращения и поворота вокруг прямой следует, что любой поворот вокруг оси фигуры вращения самосовмещает эту фигуру саму с собой.

Осевая симметрия в пространстве является поворотом на 180° вокруг оси симметрии. Действительно, в результате поворота на 180° вокруг прямой а точка X, не лежащая на прямой а, перейдёт в такую точку Х', что прямая а будет перпендикулярна отрезку XX' и пересечёт его в середине.

Доказательство. Пусть при повороте вокруг оси а точки А и В перешли в точки А' и В'. Докажем, что А'В' = АВ.

Если точки А и В лежат в одной плоскости, перпендикулярной оси, то А'В' = АВ, так как поворот в плоскости является движением.

Допустим, что точка А лежит в плоскости α ⊥ а, а точка В — в другой плоскости β ⊥ а (рис. 225). Пусть Р — точка пересечения прямой а и плоскости α, a Q — точка пересечения плоскости β и прямой а. Опустим из точек В и В' перпендикуляры ВС и В'С' на плоскость α. Так как α || β (α ⊥ a и β ⊥ а), то В'С' = ВС (см. п. 14.2). Так как ∠CPC' и ∠BQB'— линейные углы одного и того же двугранного угла, то ∠CPC' = ∠BQB' = φ. Кроме того, С'Р = СР, так как C'P = B'Q, CP = BQ и B'Q = BQ. Поэтому при рассматриваемом повороте точка С переходит в точку С'. Так как точки А, С, А', С' лежат в плоскости α, то А'С' = АС.

Рис. 225

Наконец, мы замечаем ещё, что поскольку ВС ⊥ α и В'С' ⊥ α, то ВС ⊥ С А и В'С' ⊥ С'А'. Поэтому треугольники ABC и А'В'С' прямоугольные. Они равны, так как В'С'= ВС и А'С' = АС. Следовательно, А'В' = АВ.

24.5 Общее понятие о симметрии

Симметрией фигуры вообще называется свойство фигуры, состоящее в том, что существует движение, совмещающее её саму с собой.

Мы уже говорили о симметрии шара. Любой параллелепипед обладает симметрией: у него есть центр симметрии. Симметрией обладают фигуры вращения, правильные пирамиды и призмы.

Симметрия играет огромную роль в искусстве, архитектуре, где она постоянно встречается в достаточно точном геометрическом смысле — как совмещаемость частей при самосовмещении целого (рис. 226, а, б).

Рис. 226

Учение о симметрии составляет важную и достаточно обширную часть геометрии, особенно учение о симметрии кристаллов, которое включается в науку, называемую геометрической кристаллографией.

Известно, что атомы в кристаллах образуют кристаллическую решётку, т. е. некую правильную систему фигур, совмещающихся одна с другой движениями (рис. 227).

Рис. 227

Помимо кристаллов, симметрия в природе наблюдается у живых организмов. У растений наблюдается симметрия цветов, симметрия расположения листьев. Среди животных особенно примечательны в этом смысле морские звёзды (рис. 228). Симметрии у фигуры тем больше, чем больше есть движений, которые совмещают её саму с собой.

Рис. 228

Общее учение о симметрии приобрело большое значение в физике, с ним связаны основные законы природы.

24.6 Элементы симметрии

Если некоторое преобразование симметрии совмещает фигуру саму с собой, то, повторив это преобразование, мы снова совместим фигуру саму с собой, т. е. опять получим преобразование симметрии. Например, совместив фигуру саму с собой поворотом, можно этот поворот повторить.

Если фигура самосовмещается в результате поворота вокруг оси, то эта ось называется её осью поворотной симметрии. Число поворотов вокруг оси, которыми фигура самосовмещается, называется порядком оси.

Так, ось правильной n-угольной призмы является её осью поворотной симметрии порядка n (рис. 229, а). Аналогично осью поворотной симметрии порядка n является высота правильной n-угольной пирамиды (рис. 229, б).

Рис. 229

У фигур вращения ось поворотной симметрии бесконечного порядка.

Если фигура совмещается сама с собой в результате последовательно выполненных поворотов вокруг некоторой прямой а и затем отражения в некоторой плоскости α, перпендикулярной прямой а, то говорят, что а является осью зеркальной симметрии данной фигуры (или, короче, зеркальной осью). Так же как для оси симметрии, для зеркальной оси определяется её порядок. Например, у октаэдра есть зеркальная ось порядка шесть — она проходит через центры его параллельных граней (рис. 230).

Рис. 230

Движение, которое получается в результате последовательно выполненных поворотов вокруг прямой и отражения в плоскости, перпендикулярной этой прямой, называется зеркальным поворотом.

Оба вида осей поворота вместе с плоскостями симметрии и центром симметрии, если они есть у фигуры, называются её элементами симметрии.

Центральная симметрия является частным случаем зеркального поворота (на 180°).

24.7 Симметрии правильных многогранников

Правильные многогранники — самые симметричные из всех многогранников.

Укажем элементы симметрии куба.

1. Центр симметрии — центр куба, т. е. точка пересечения его диагоналей.
2. Плоскости симметрии:
   • а) три плоскости симметрии, перпендикулярные рёбрам в их серединах (рис. 231, а);
   • б) шесть плоскостей симметрии, проходящих через противоположные рёбра куба (рис. 231, б).

Рис. 231

3. Оси симметрии:
   • а) три оси 4-го порядка, проходящие через центры противоположных граней куба (рис. 232, а); б) шесть осей 2-го порядка, проходящих через середины противоположных рёбер (рис. 232,
   • б); в) четыре зеркальные оси 6-го порядка, проходящие через противоположные вершины (рис. 232, в).

Рис. 232

Этот элемент симметрии куба самый интересный и не сразу видный. Чтобы прояснить его, проведём сечение куба плоскостью, проходящей через центр перпендикулярно диагонали. Оно является правильным шестиугольником. При повороте куба вокруг диагонали на угол 60° шестиугольник самосовмещается, а после отражения в плоскости шестиугольника самосовмещается и куб.

Октаэдр — многогранник, двойственный кубу, и у него те же элементы симметрии, что и у куба.

Но есть и разница: плоскости симметрии, проходящие у куба через вершины, у октаэдра проходят через центры граней (рис. 232, г), а плоскости симметрии, проходящие у куба через центры граней, у октаэдра проходят через вершины (рис. 232, д). Такая же разница и в положениях осей (рис. 232, e).

Рассмотрим элементы симметрии правильного тетраэдра.

1. Шесть плоскостей симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рис. 233, а).
2. Четыре оси 3-го порядка — высоты тетраэдра (рис. 233, б).
3. Три зеркальные оси 4-го порядка, проходящие через середины противоположных рёбер (рис. 233, в).

Рис. 233

Попытайтесь сами обнаружить элементы симметрии додекаэдра и икосаэдра, используя то соображение, что они двойственны. Ў

24.8 Золотое сечение

Построением правильных многогранников завершал свои «Начала» Евклид: «Итак, кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другой телесной фигуры, заключённой между равносторонними и равноугольными фигурами, что и требовалось доказать». И в этих построениях Евклид использовал деление отрезка в крайнем и среднем отношении, т. е. деление отрезка а на два отрезка х и а - х, при котором отношение всего отрезка а к его большей части х было равно отношению большей части х к меньшей части а - х:

a : x = x : (a - x).

Уже в эпоху Возрождения Леонардо да Винчи такое сечение отрезка назвал золотым сечением, а пропорцию (1) золотой пропорцией. Отношение а : х в равенстве (1) обозначают буквой Ф в честь знаменитого греческого скульптора Фидия — одного из строителей Парфенона. Золотое сечение, а также его степени присутствуют в соотношении размеров самых знаменитых архитектурных строений. Прочитать об этом можно в книге А. В. Волошинова «Математика и искусство» (М.: Просвещение, 2000). Вычислим Ф, а также число φ = 1/Ф.

Приведя равенство (1) к уравнению х² + ах - а² = 0, найдём его положительное решение

Следовательно,

и

Как циркулем и линейкой построить отрезок x, если задан отрезок а, ясно из рисунка 234. Зная, как циркулем и линейкой разделить отрезок в крайнем и среднем отношении, можно построить этими инструментами правильный пятиугольник. Покажем, как это сделать.

Рис. 234

Рассмотрим правильный пятиугольник ABCDE и проведём в нём диагонали AC, AD и BD (рис. 235). Точка пересечения диагоналей АС и BD — точка К — делит отрезок АС в крайнем и среднем отношении (это следует из подобия треугольников ACD и CDK). Задав диагональ АС = а, находим сторону х пятиугольника ABCDE и составляем его из треугольников ACD, ABC и ADE.

Рис. 235

Напомним, что не любая задача на построение решается циркулем и линейкой. Нельзя этими инструментами построить правильный семиугольник, решить задачи о трисекции угла, об удвоении куба, о квадратуре круга.

Знаменитый математик и астроном Иоганн Кеплер (1571—1630) говорил: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одна из них это теорема Пифагора, а другая — деление отрезка в крайнем и среднем отношении... Первое из них можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень».

24.9 Полуправильные многогранники

У правильного многогранника должны быть правильными и равными друг другу и грани, и многогранные углы. Если ослабить одно из этих условий, то получим два класса полуправильных многогранников. Расскажем об одном из них — о классе равноугольных полуправильных многогранников. Он состоит из многогранников, у которых, во-первых, все грани являются правильными многоугольниками (но не обязательно равными друг другу) и, во-вторых, многогранные углы при всех вершинах равны.

Рис. 236

Этот класс содержит все правильные призмы, боковые грани которых квадраты (рис. 236). Ещё этот класс содержит правильные антипризмы, у которых основания — правильные n-угольники, а боковые грани — правильные треугольники. Для n = 5 такая антипризма была построена в п. 24.2 (см. рис. 218, а, б).

Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных равноугольных многогранников, существуют ещё лишь 14 видов полуправильных многогранников.

Тринадцать из них были известны Архимеду, и их называют архимедовыми телами (рис. 237).

Рис. 237

Четырнадцатый многогранник был найден в середине XX века (рис. 238). Он отличается от архимедова многогранника, изображённого на рисунке 237, к.

Рис. 238

Вопросы для самоконтроля

1. Какие многогранники называются правильными?
2. Какие вы знаете правильные многогранники?
3. Что такое двойственные правильные многогранники?
4. В чём состоит свойство симметричности фигуры?
5. Какие вы знаете элементы симметрии фигуры?
6. Какие элементы симметрии есть у куба? у правильного тетраэдра?