Найдите площадь сечения, проходящего через (РА) под углом φ к (РАВ).
В каких границах лежат площади сечений, рассмотренных в задаче из п. 2 (а, б, в)?
а) Вычислите радиус сферы, описанной около тетраэдра,
б) Вычислите радиус сферы, вписанной в тетраэдр.
IV.6. В пирамиде PABCD основание ABCD — квадрат со стороной 1, точка Р проектируется в точку В, РВ = 1.
Нарисуйте плоскость симметрии пирамиды.
Установите форму сечения пирамиды плоскостью, проходящей:
а) через РВ;
б) через AD;
в) перпендикулярно РВ;
г) параллельно (РАВ).
Вычислите расстояния:
a) |PD|;
б) |Р(АС)|;
в) |В (PAD)|;
г) |D(PAC)|;
д) |А (PCD)|.
Вычислите углы:
а) между боковыми рёбрами и основанием;
б) между боковыми гранями и основанием;
в) между боковыми гранями;
г) между (РА) и (CD);
д) между (PD) и (АС).
Вычислите площадь сечения, проходящего через АС под углом ср к основанию и пересекающего РВ.
Можно ли описать вокруг пирамиды сферу? А вписать? Если да, то каков её радиус?
IV.7. В пирамиде PABCD основание ABCD — прямоугольник, точка Р проектируется в его центр О, PQ = QC= 1, ∠CQD = 60°.
Нарисуйте плоскости симметрии пирамиды.
Установите форму сечения пирамиды плоскостью, проходящей:
а) перпендикулярно PQ;
б) через АС;
в) через AD;
г) перпендикулярно BD;
д) параллельно РО и CD.
Вычислите расстояния:
a) |C(BPD)|;
б) |С(APD)|;
в) |(ВС) (APD)|.
Вычислите углы между:
а) боковым ребром и основанием;
б) боковой гранью и основанием;
в) (PBD) и (РАС);
г) (APD) и (BСР);
д) [РА) и (CD).
Вычислите площадь сечения, проходящего через (AD) под углом 30° к основанию.
В каких границах лежат площади сечений из п. 2 (задачи а, б, в, д)?
Можно ли вокруг пирамиды описать сферу? вписать в неё сферу? Если да, то чему равны их радиусы?
IV.8. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 проведены сечения A1BD и CB1D1.
а) Докажите, что диагональ AС1 делится ими на три равные части,
б) Докажите, что она пересекает эти сечения в точках пересечения медиан.
Итоги главы IV
В главе IV завершается знакомство со стереометрическими фигурами элементарной геометрии. Многогранники — наиболее сложные из тел классической элементарной геометрии. Их изучение хорошо демонстрирует те вопросы, которые появляются при переходе в геометрии от наглядных описаний к точным формулировкам. Даже для разъяснения краткого определения многогранника как тела, граница которого состоит из конечного числа многоугольников, требуется объяснить: что такое тело, что такое граница (п. 23.1), а также что такое многоугольник. А дальше вопросы появляются при определении элементов многогранника — граней, рёбер, вершин и т. д. (п. 23.2). Не так элементарна элементарная геометрия!
Материал главы IV во многом описательный. Теорем в ней всего две — простая теорема 26 о правильной пирамиде (п. 22.2) и сложная теорема 27 о том, что поворот в пространстве является движением (п. 24.4).
В главе IV рассказано об общем понятии симметрии фигуры (п. 24.5) и много места отведено рассказу о симметрии правильных призм, правильных пирамид, правильных многогранников (п. 24.6 и 24.7).