Геометрия
10-11 классы

§ 31. Координаты и векторы

31.1 Координаты вектора

Чтобы объединить преимущества координатного и векторного методов и расширить круг задач, решаемых этими методами, для векторов вводят координаты. Это позволяет свести действия с векторами к аналогичным действиям с их координатами. Вводят координаты вектора в пространстве так же, как и на плоскости, раскладывая вектор по осям координат следующим образом.

Введём в пространстве систему прямоугольных координат х, у, z с началом в точке О и единичными векторами координатных осей х, у, z (рис. 275).

Рис. 275

Возьмём произвольный вектор и отложим его от начала координат: = . Пусть точка А имеет координаты х₀, у₀, z₀. Спроектируем точку А на плоскость ху в точку А₀ (х₀, y₀, 0) и на координатные оси в точки А₁ (x₀, 0, 0), А₂ (0, y₀, 0) и А₃ (0, 0, z₀). Тогда

и

Поскольку (объясните почему), то, подставляя эти равенства в (1), получаем:

Итак, мы разложили вектор по единичным векторам координатных осей. Числа х₀, у₀, z₀, участвующие в разложении (2), называются координатами вектора в данной системе координат. Мы показали, что координатами вектора будут координаты его конца — точки А, если он отложен от начала координат, т. е. = .

Теперь докажем, что в данной системе координат каждый вектор имеет единственный набор координат. Это значит, что если, кроме равенства (2), мы получили ещё каким-нибудь способом аналогичное ему равенство

то

Действительно, из (2) и (3) следует, что

Поэтому

Слева в равенстве (5) стоит вектор, параллельный оси х, т. е. перпендикулярный плоскости yz. А справа в (5) стоит вектор, параллельный плоскости yz. Они могут быть равны лишь в случае, когда оба нулевые. Поэтому x₀ - α = 0, т. е. α = x₀ Аналогично β = у₀ и γ = z₀, т. е. имеет место (4).

Следовательно, каждый вектор можно задавать его координатами х₀, y₀, z₀ и писать короче: (х₀, y₀, z₀) или = (x₀, у₀, z₀) вместо равенства (2).

Теперь легко найти координаты вектора, отложенного от любой точки, если мы знаем координаты его начала и его конца.

Пусть вектор , где P(x₁, y₁, z₁) и Q (х₂, y₂, z₂). Как было установлено,

Поэтому

т. e. если

то

x₀ = x₂ - x₁, y₀ = y₂ - y₁, z₀ = z₂ - z₁. (6)

Итак, координаты вектора, отложенного от произвольной точки, равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Выразим ещё модуль вектора через его координаты. Получим:

Выразим также через координаты точек Р и Q координаты точки М (х, y, z) — середины отрезка PQ. Так как , то x - x₁ = х₂ - х, y - y₁ = y₂ - y и z - z₁ = z₂ - z,

а потому

31.2 Действия с векторами и действия с координатами

Доказательство. Пусть

= + (8)

и

Надо доказать, что

Х_c = Х_a + Х_b, y_c = y_a + y_b, z_c = z_a + z_b. (10)

Действительно, из равенств (8) и (9) получаем, что

Значит, числа х_a + х_b, у_a + у_b, z_a + z_b — координаты вектора , т. е. имеют место равенства (10).

Докажем второе утверждение теоремы. Рассмотрим произведение α. Получим

Значит, числа αx_a, αy_a, αz_a — координаты вектора α.

Следствие вытекает из доказанной теоремы и признака коллинеарности векторов (п. 30.4).

31.3 Скалярное умножение векторов

Напомним, что скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначают • . Поэтому согласно определению

• = || || cos φ, (11)

где φ — угол между векторами и . Напомним, что углом между двумя ненулевыми векторами называется величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки (рис. 276). Из леммы об углах с сонаправленными сторонами вытекает, что угол между векторами не зависит от выбора той точки, от которой они откладываются.

Рис. 276

Если хотя бы один из векторов , нулевой, то считается по определению, что • = 0.

Выделяют два важных частных случая:

1. Если = , то φ = 0°, || = || и из (11) следует, что • = ||². Произведение • обозначается ² и называется скалярным квадратом вектора .
2. • = 0 для ненулевых векторов , тогда и только тогда, когда ⊥ . Действительно, в этом случае • = 0 равносильно тому, что cos φ = 0, т. е. ⊥ .

Выразим скалярное произведение векторов (х_a, у_a, z_a) и (х_b, у_b, z_b) через координаты. Отложим векторы и от начала О: = и = .

Если и неколлинеарны, то получим треугольник ОАВ, угол φ которого при вершине О равен углу между и (рис. 277).

По теореме косинусов

АВ² = ОА² + ОВ² - 2OА • ОВ cos φ. (12)

Но ОА² = ||², ОВ² = ||², АВ² = ² = | - |², ОА • ОB cos φ = • . Поэтому (12) можно записать так:

| - |² = ||² + ||² - 2 • . (13)

Выразим • из (13) и заменим квадраты длин векторов их выражениями через координаты по формуле (7). Получим:

Случай, когда ||, т. е. когда = α, рассмотрите самостоятельно. Он даёт тот же результат.

Итак, мы доказали, что скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноимённых координат:

• = х_aх_b + у_aу_b + z_az_b. (14)

Из формулы (14) вытекают такие свойства:

1. • = • для любых векторов , ;
2. (α) • = α( • ) для любых векторов , и любого числа α;
3. ( + ) • = • + • для любых векторов , , ;
4. • > 0 и • = 0 тогда и только тогда, когда = .

Операция скалярного умножения векторов позволяет находить углы между ненулевыми векторами , по формуле

и длины векторов по формуле

Например, зная длины рёбер a = AD, b = АВ и с = АА₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и углы между ними φ₁ = ∠BAD, φ₂ = ∠A₁AD и φ₃ = ∠A₁AB, легко найти длину его диагонали d = AC₁. Действительно, . Возведём это равенство в скалярный квадрат и получим:

d² = а² + b² + с² + 2ab cos φ₁ + 2ас cos φ₂ + 2bc cos φ₃.

Посчитайте квадраты длин других диагоналей параллелепипеда и найдите их сумму. Вы получите любопытный результат.

Другой пример. Воспользовавшись равенством (4) п. 30.6, можно найти длину средней линии KL тетраэдра ABCD, если известны длины его рёбер а = АС и b = BD и угол φ между ними:

В частности, если AC ⊥ BD то

а если ещё и AC = BD то

31.4 Уравнение плоскости

Как вы знаете, в системе прямоугольных координат х, у на плоскости каждая прямая задаётся уравнением вида ах + by + с = 0. Для плоскости в пространстве верен аналогичный результат: каждая плоскость α задаётся в системе прямоугольных координат х, y, z уравнением вида

Ах + By + Cz + D = 0. (17)

Докажем это утверждение. Пусть дана плоскость α. Возьмём любой ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости α (рис. 278). Он называется нормалью к плоскости α. Обозначим координаты вектора через А, В, С. Покажем, что тогда плоскость α задаётся уравнением (17). Положение плоскости α в пространстве вполне определится, если, кроме вектора , задать какую-нибудь точку М (x₀, у₀, z₀) ∈ α.

Точка К (х, y, z) принадлежит плоскости α тогда и только тогда, когда вектор МК перпендикулярен вектору . А это имеет место тогда и только тогда, когда

Равенство (18) и является уравнением плоскости α. Запишем его в координатах. Так как , то по формуле (14) получаем, что

Подставив это выражение в левую часть уравнения (18) и положив D = -(Ах₀ + Ву₀ + Cz₀), получим равенство (17).

Верно и обратное утверждение: уравнение вида (17) при условии, что среди коэффициентов А, В, С есть ненулевые, задаёт в пространстве плоскость в системе прямоугольных координат. Если А ≠ 0, то такой плоскостью является плоскость α, проходящая через точку и имеющая вектор (А, В, С) своим вектором нормали.

31.5 Расстояние от точки до плоскости

Решим такую задачу: плоскость α задана уравнением (17) и задана точка Р (х₀, у₀, z₀). Требуется найти расстояние d от этой точки до плоскости α. Опустим перпендикуляр PQ на плоскость α. Пусть точка Q (х₁, у₁, z₁) — основание этого перпендикуляра. Тогда расстояние d равно длине вектора = (х₁ - х₀, у₁ - у₀, z₁ - z₀). Этот вектор коллинеарен вектору нормали к плоскости α — вектору = (А, В, С). Поэтому

Вычисляем скалярное произведение

Поскольку точка Q (х₁, y₁, z₁) лежит на плоскости α, то Ах₁ + Ву₁ + Сz₁ + D = 0. Поэтому Ах₁ + Ву₁ + Cz₁ = -D. Следовательно,

а так как || = (А² + В² + С²)^0,5, то, подставляя эти выражения в равенство (20), получаем, что

Вопросы для самоконтроля

1. Как найти координаты вектора?
2. Даны координаты двух векторов. Как сложить эти векторы? Как вычесть их? Как умножить вектор на число? Как проверить, будут ли векторы коллинеарны?
3. Запишите формулу для длины вектора, заданного своими координатами.
4. Как вычислить скалярное произведение двух векторов?
5. Какие свойства имеет скалярное умножение?
6. Какие величины можно находить с помощью скалярного умножения?
7. Каким уравнением задаётся плоскость в прямоугольных координатах? Запишите его.