31.1. Какие координаты имеет вектор ОА, если координаты точки А:
а) (1, 2, 3);
б) (-5, 4,-1);
в) (α, β, γ)?
31.2. Какие координаты имеет единичный вектор (вектор, длина которого равна 1), если он образует:
а) с осью х угол 60°, а с осью у угол 45°;
б) с плоскостью ху угол 30°, а с плоскостью yz угол 45°;
в) с осью z угол 60°, а с плоскостью xz угол 45°;
г) с осями координат углы φ1, φ2, φ3?
31.3. Нарисуйте вектор с координатами:
а) (0, 0, 1);
б) (-2, 0, 1);
в) (-3, -1, -2);
г) (-4, 1, 3).
Вычислите в задачах в) и г) длину такого вектора и углы, которые он образует с осями координат и плоскостями координат.
31.4. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Начало координат находится в точке В, положительные лучи осей координат — лучи ВА, ВС, BB1. Какие координаты имеет вектор:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
31.5. Каковы координаты вектора АВ и его длина, если:
а) А (0, 0, 0), B (2, -3, 1);
б) A (-1, 1, -1), B (0, -1, 0);
в) А (-1, 2, 3), B (-1, 2, -3);
г) А (а, Ь, с), В (с, а, Ь)?
31.6. Пусть А (2, 1, 0), B (0, -2, 1), С (1, 0, -2), D (1, 1, 1).
а) Есть ли равные векторы среди векторов, начала и концы которых находятся в данных точках?
6) Чему равны их длины?
в) Найдите координаты середин отрезков с концами в точках А, В, С, D.
Задачи к п. 31.2
31.7.
а) Дан вектор (xa, ya, za). Какие координаты имеет вектор -?
б) Даны векторы = (x1, y1, z1) и = (х2, у2, z2). Какие координаты имеет вектор - ?
31.8. Даны векторы = (-2, 1, 0) и = (3, -1, -2). Какие координаты имеют векторы:
а) -;
б) 2;
в) - ;
г) 2 - 4;
д) 1/2( + )?
31.9. Вернитесь к условию задачи 31.6. Какие координаты имеют векторы:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Найдите их длины.
31.10. Даны точки А (-2, 1, 1), В (1, 1, -2), С (1, -2, 1), D ( 1, 2, 3). Есть ли параллельные прямые, проходящие через эти точки?
31.14. Векторы = (x1, y1, z1) и = (х2, у2, z2) перпендикулярны. Какой зависимостью связаны их координаты?
31.15. Векторы , , единичные, угол между и равен 30°, между и равен 45°, между и равен 60°. Вычислите:
а) • , • , • ;
б) 2 • , 1/2 • 4;
в) ( - );
г) ( + - ) • ;
д) ( - + ) • ( - );
е) ( + - ) • ( - - );
ж) ( + + )2.
31.16. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 1. Вычислите:
a)
б)
в)
г) где К — центр грани ACD;
д) где L — середина ребра АС, а М — середина ребра BD.
31.17. Дан тетраэдр РАВС. Докажите, что равносильны два утверждения: АВ ⊥ РС и АС2 + ВР2 = АР2 + ВС2.
31.18. Используя скалярное умножение векторов, докажите:
а) теорему о трёх перпендикулярах;
б) признак перпендикулярности прямой и плоскости;
в) теорему о том, что два перпендикуляра к одной плоскости параллельны.
Задачи к п. 31.4
31.19. Нарисуйте в системе координат плоскость, уравнение которой:
а) x + y + z = 1;
б) -x - y + z = 2;
в) 2х - у + 3z + 1 = 0.
31.20. Как будет расположена плоскость относительно осей координат, если в её уравнении будет равен нулю:
а) ровно один коэффициент;
б) ровно два коэффициента?
31.21. Пересекаются ли плоскости:
a) x + y + z = 1 и x + y + z = -1;
б) x + y + z = 1 и x + y - z = 1?
31.22. Две плоскости заданы уравнениями. Как выяснить, будут ли они перпендикулярны? Если нет, то как найти угол между ними? А когда плоскости параллельны?
31.23. Какую фигуру в пространстве задаёт неравенство:
а) Ах + By + Cz + D > 0;
б) Ax + By+Cz + D ≤ 0?
31.24. Какая фигура в пространстве задана условиями:
а) |х| ≤ 1;
б) -1 ≤ х - у ≤ 2;
в) 10 ≤ x + y + z ≤ 20;
г) 1 ≤ х ≤ 2, -2 ≤ у ≤ -1, -1 ≤ z ≤ 1;
д) х > О, у > О, z > O, x + y + z ≤ 1?
31.25. В тетраэдре ABCD все углы при вершине А прямые, AB=AC=AD. Установите положение центра шара, описанного около этого тетраэдра, относительно плоскости BCD.