Геометрия
10-11 классы

Задачи к § 31

Задачи к п. 31.1

• 31.1. Какие координаты имеет вектор ОА, если координаты точки А:
  • а) (1, 2, 3);
  • б) (-5, 4,-1);
  • в) (α, β, γ)?
• 31.2. Какие координаты имеет единичный вектор (вектор, длина которого равна 1), если он образует:
  • а) с осью х угол 60°, а с осью у угол 45°;
  • б) с плоскостью ху угол 30°, а с плоскостью yz угол 45°;
  • в) с осью z угол 60°, а с плоскостью xz угол 45°;
  • г) с осями координат углы φ₁, φ₂, φ₃?

• 31.3. Нарисуйте вектор с координатами:
  • а) (0, 0, 1);
  • б) (-2, 0, 1);
  • в) (-3, -1, -2);
  • г) (-4, 1, 3).

  Вычислите в задачах в) и г) длину такого вектора и углы, которые он образует с осями координат и плоскостями координат.

• 31.4. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1. Начало координат находится в точке В, положительные лучи осей координат — лучи ВА, ВС, BB₁. Какие координаты имеет вектор:
  • а)
  • б)
  • в)
  • г)
  • д)
  • е)
• 31.5. Каковы координаты вектора АВ и его длина, если:
  • а) А (0, 0, 0), B (2, -3, 1);
  • б) A (-1, 1, -1), B (0, -1, 0);
  • в) А (-1, 2, 3), B (-1, 2, -3);
  • г) А (а, Ь, с), В (с, а, Ь)?
• 31.6. Пусть А (2, 1, 0), B (0, -2, 1), С (1, 0, -2), D (1, 1, 1).
  • а) Есть ли равные векторы среди векторов, начала и концы которых находятся в данных точках?
  • 6) Чему равны их длины?
  • в) Найдите координаты середин отрезков с концами в точках А, В, С, D.

Задачи к п. 31.2

• 31.7.
  • а) Дан вектор (x_a, y_a, z_a). Какие координаты имеет вектор -?
  • б) Даны векторы = (x₁, y₁, z₁) и = (х₂, у₂, z₂). Какие координаты имеет вектор - ?
• 31.8. Даны векторы = (-2, 1, 0) и = (3, -1, -2). Какие координаты имеют векторы:
  • а) -;
  • б) 2;
  • в) - ;
  • г) 2 - 4;
  • д) 1/2( + )?
• 31.9. Вернитесь к условию задачи 31.6. Какие координаты имеют векторы:
  • а)
  • б)
  • в)
  • г)
  • д)
  • е)

  Найдите их длины.

• 31.10. Даны точки А (-2, 1, 1), В (1, 1, -2), С (1, -2, 1), D ( 1, 2, 3). Есть ли параллельные прямые, проходящие через эти точки?

Задачи к п. 31.3

• 31.11. Пусть = (-1, 2, -3), =(2, -1, 0). Вычислите:
  • а) • ;
  • б) (-2 ) • ;
  • в) • 1/2 ;
  • г) (-З) • (2);
  • д) ( + ) • ;
  • е) ( - ) • ( + );
  • ж) (-4 + ) • (1/2 - 2)
• 31.12. Пусть = (1, -2, 0), = (0, 2, -1). Вычислите:
  • а) ||;
  • б) ||;
  • в) |2|;
  • г) | -1/2 |;
  • д) | + |;
  • е) |2 - |.
• 31.13. Пусть = (0, 1, -2), = (-2, 1, -1). Вычислите угол φ между:
  • а) и ;
  • б) -2 и 3;
  • в) + и - .
• 31.14. Векторы = (x₁, y₁, z₁) и = (х₂, у₂, z₂) перпендикулярны. Какой зависимостью связаны их координаты?
• 31.15. Векторы , , единичные, угол между и равен 30°, между и равен 45°, между и равен 60°. Вычислите:
  • а) • , • , • ;
  • б) 2 • , 1/2 • 4;
  • в) ( - );
  • г) ( + - ) • ;
  • д) ( - + ) • ( - );
  • е) ( + - ) • ( - - );
  • ж) ( + + )².
• 31.16. Дан правильный тетраэдр ABCD с ребром 1. Вычислите:
  • a)
  • б)
  • в)
  • г) где К — центр грани ACD;
  • д) где L — середина ребра АС, а М — середина ребра BD.
• 31.17. Дан тетраэдр РАВС. Докажите, что равносильны два утверждения: АВ ⊥ РС и АС² + ВР² = АР² + ВС².
• 31.18. Используя скалярное умножение векторов, докажите:
  • а) теорему о трёх перпендикулярах;
  • б) признак перпендикулярности прямой и плоскости;
  • в) теорему о том, что два перпендикуляра к одной плоскости параллельны.

Задачи к п. 31.4

• 31.19. Нарисуйте в системе координат плоскость, уравнение которой:
  • а) x + y + z = 1;
  • б) -x - y + z = 2;
  • в) 2х - у + 3z + 1 = 0.
• 31.20. Как будет расположена плоскость относительно осей координат, если в её уравнении будет равен нулю:
  • а) ровно один коэффициент;
  • б) ровно два коэффициента?
• 31.21. Пересекаются ли плоскости:
  • a) x + y + z = 1 и x + y + z = -1;
  • б) x + y + z = 1 и x + y - z = 1?
• 31.22. Две плоскости заданы уравнениями. Как выяснить, будут ли они перпендикулярны? Если нет, то как найти угол между ними? А когда плоскости параллельны?
• 31.23. Какую фигуру в пространстве задаёт неравенство:
  • а) Ах + By + Cz + D > 0;
  • б) Ax + By+Cz + D ≤ 0?
• 31.24. Какая фигура в пространстве задана условиями:
  • а) |х| ≤ 1;
  • б) -1 ≤ х - у ≤ 2;
  • в) 10 ≤ x + y + z ≤ 20;
  • г) 1 ≤ х ≤ 2, -2 ≤ у ≤ -1, -1 ≤ z ≤ 1;
  • д) х > О, у > О, z > O, x + y + z ≤ 1?
• 31.25. В тетраэдре ABCD все углы при вершине А прямые, AB=AC=AD. Установите положение центра шара, описанного около этого тетраэдра, относительно плоскости BCD.