Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой (рис. 55). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
Рис. 55
Теорема
Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
Доказательство
Пусть А — точка, не лежащая на прямой ВС (рис. 56, а). Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС.
Отложим от луча ВС угол МВС, равный углу АВС, как показано на рисунке 56, а. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны В А и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла. Наглядно это наложение можно представить себе как перегибание рисунка по прямой ВС. При этом точка А наложится на некоторую точку А1 луча ВМ (рис. 56, б). Обозначим буквой Н точку пересечения прямых AA1 и ВС. Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном наложении (перегибании рисунка) луч НА совмещается с лучом НА1 поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следовательно, ∠1 = ∠2. Но углы 1 и 2 — смежные, значит, каждый из них прямой. Итак, АН ⊥ ВС.
Рис. 56
Докажем теперь, что из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС.
Если предположить, что через точку А можно провести ещё один перпендикуляр АН1 к прямой ВС, то получим, что две прямые АН и АН1, перпендикулярные к прямой ВС, пересекаются (рис. 57). Но в п. 12 было доказано, что это невозможно. Итак, из точки А можно провести только один перпендикуляр к прямой ВС. Теорема доказана.
Рис. 57
Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертёжный угольник (рис. 58).
Рис. 58
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника (рис. 59, а).
Любой треугольник имеет три медианы. На рисунке 59,6 отрезки АМ1, ВМ2, СМ3 — медианы треугольника АВС.
Рис. 59
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника (рис. 60, а).
Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 60, б отрезки СС1, DD1 и ЕЕ1 — биссектрисы треугольника CDE.
Рис. 60
Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника (рис. 61).
Рис. 61
Любой треугольник имеет три высоты. На рисунках 62, а, б, в отрезки АН1, ВН2, СН3 — высоты треугольника АВС.
Рис. 62
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 59, б);
биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 60, б);
высоты треугольника или их продолжения также пересекаются в одной точке (рис. 62, а, б, в).
Свойства равнобедренного треугольника
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника (рис. 63, а).
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (рис. 63, б).
Рис. 63
Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.
Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠B = ∠C. Пусть AD — биссектриса треугольника АВС (рис. 64). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства треугольников (АВ = АС по условию, AD — общая сторона, ∠1 = ∠2, так как AD — биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠B = ∠C. Теорема доказана.
Рис. 64
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.
Доказательство
Обратимся снова к рисунку 64, на котором ΔАВС — равнобедренный треугольник с основанием ВС, AD — его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD следует, что BD = DC и ∠3 = ∠4. Равенство BD = DC означает, что точка D — середина стороны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.
Мы установили, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника, проведённые к основанию, совпадают. Поэтому справедливы также утверждения:
1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.
Практические задания
100. Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольника проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
101 Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.
102. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.
103. Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и треугольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чертёжного угольника проведите высоты каждого треугольника.
104. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:
а) острым;
б) прямым;
в) тупым.
Задачи
105. Точки А и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны.
а) Докажите, что ∠ABD = ∠CDB;
б) найдите ∠ABC, если ∠ADB = 44°.
106. Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на отрезок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.
а) Докажите, что AABD = AECD;
б) найдите ∠ACE, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.
107. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
108. Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD равен 45 см. Найдите стороны АВ и ВС.
109. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана AM. Найдите медиану AM, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
110. Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.
111. На рисунке 65 CD = BD, ∠1 =∠2. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.
119. В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK = 16 см отрезок EF — биссектриса, ∠DEF = 43°. Найдите KF, ∠DEK, ∠EFD.
120. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соответственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что: