Геометрия
7-9 классы

       

§ 3. Второй и третий признаки равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Теорема

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 (рис. 68). Докажем, что ΔАВС = ΔА1В1С1.


Рис. 68

Наложим треугольник АВС на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ — с равной ей стороной AjBj, и вершины С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.

Так как ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1, то сторона АС, наложится на луч А1С1, а сторона ВС — на луч В1С1. Поэтому вершина С — общая точка сторон АС и ВС — окажется лежащей как на луче А1С1, так и на луче B1C1 и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей — вершиной С1. Значит, совместятся стороны АС и A1C1, ВС и В1С1.

Итак, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, поэтому они равны. Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника соответ ственно равны трём сторонам другого треуголь ника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим треугольники АВС и A1B1C1, у которых АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1 (рис. 69).


Рис. 69

Докажем, что ΔАВС = ΔА1В1С1. Приложим треугольник АВС к треугольнику A1B1C1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В — с вершйной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой A1B1 (рис. 70).


Рис. 70

Возможны три случая: луч С1С проходит внутри угла А1С1В1 (рис. 70, а); луч С1С совпадает с одной из сторон этого угла (рис. 70, б); луч С1С проходит вне угла А1С1В1 (рис. 70, в). Рассмотрим первый случай (остальные случаи рассмотрите самостоятельно).

Так как по условию теоремы стороны АС и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники А1С1С и В1С1С — равнобедренные (см. рис. 70, а). По теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, поэтому ∠A1CB1 = ∠A1C1B1. Итак, АС = А1С1, ВС = В1С1, ∠C = ∠C1.

Следовательно, треугольники АВС и А1В1С1 равны по первому признаку равенства треугольников. Теорема доказана.

Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Поясним, что это означает.

Представим себе две рейки, у которых два конца скреплены гвоздём (рис. 71, а). Такая конструкция не является жёсткой: сдвигая или раздвигая свободные концы реек, мы можем менять угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рейку и скрепим её концы со свободными концами первых двух реек (рис. 71, б).


Рис. 71

Полученная конструкция — треугольник — будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников.

Это свойство — жёсткость треугольника — широко используется на практике. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку (рис. 72, а); такой же принцип используется при установке кронштейна (рис. 72, б).


Рис. 72

Задачи

121. Отрезки АВ и CD пересекаются в середине О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC.

    а) Докажите, что ΔСВО = ΔDAO;
    б) найдите ВС и СО, если CD = 26 см, AD = 15 см.

122. На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.

    а) Докажите, что ΔАВС = ΔCDA;
    б) найдите АВ и ВС, если АО =19 см, CD = 11 см.

123. На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла — точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD = CD.

124. По данным рисунка 73 докажите, что ОР = ОТ, ∠P = ∠T.


Рис. 73

125. На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, АО = ВО. Докажите, что ∠C = ∠D и AC = BD.


Рис. 74

126. На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, АС =13 см. Найдите BD.

127. В треугольниках АВС и А1B1С1 АВ = А1В1, ВС = B1C1, ∠B — ∠B1. На сторонах АВ и A1B1 отмечены точки D и D1 так, что ∠ACO = ∠A1C1D1. Докажите, что ΔBCD = ΔB1C1D1.

128. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны.

129. Отрезки АС и BD пересекаются в середине О отрезка АС, ∠BCO = ∠DAO. Докажите, что ΔВОА = ΔDOC.

130. В треугольниках АВС и A1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, BC = B1C1, ∠B — ∠B1 и ∠C = ∠C1. Докажите, что:

    а) ΔАСО = ΔА1С1О1;
    б) ΔВСO = ΔВ1С1O.

131. В треугольниках DEF и MNP EF — NP, DF = MP и ∠F = ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектрисы углов М и N — в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

132. Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает стороны угла в точках М и N. Докажите, что треугольник AMN — равнобедренный.

133. Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник — равнобедренный.

134. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника соответственно равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника.

135. Докажите, что если сторона одного равностороннего треугольника равна стороне другого равностороннего треугольника, то треугольники равны.

136. На рисунке 52 (см. с. 31) АВ-АС, BD = DC и ∠BAC = 50°. Найдите ∠CAD.

137. На рисунке 53 (см. с. 31) BC = AD, AB = CD. Докажите, что ∠B = ∠D.

138. На рисунке 75 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.


Рис. 75

139. На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что:

    а) ∠ABE = ∠ADF;
    б) ΔАВЕ = ΔCDF.


Рис. 76

140. В треугольниках АВС и А1В1С1 медианы ВМ и В1М1 равны, АВ = А1В1 АС = А1С1. Докажите, что ΔАВС = ΔА1В1С1.

141. В треугольниках АВС и А1В1С1 отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, АВ = А1В1, BD = B1D1 и AD = A1D1. Докажите, что ΔАВС = ΔА1В1С1.

142. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О. Докажите, что: a) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Ответы к задачам

    121. б) ВС = 15 см, СО = 13 см.

    122. б) АВ = 11 см, ВС =19см.

    126. 13см.

    136. 25°.

    142. Указание. Рассмотреть два случая. Точка В лежит: а) на луче АО; б) на продолжении луча АО.

Рейтинг@Mail.ru