Геометрия
7-9 классы

       

Вопросы для повторения к главе VI

1. Расскажите, как измеряются площади многоугольников.

2. Сформулируйте основные свойства площадей многоугольников.

3. Какие многоугольники называются равновеликими и какие равносоставленными?

4. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади прямоугольника.

5. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

6. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

7. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

8. Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

9. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

10. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

11. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников.

12. Какая формула площади треугольника называется формулой Герона? Выведите эту формулу.

Дополнительные задачи

500. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

501. Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах.

502. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

503. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см2, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см.

504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

505. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

506. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?

507.* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

508.* Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

509. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

510.* Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.

511. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О.

    а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
    б) Сравните площади треугольников АВО и СDO.
    в) Докажите, что выполняется равенство ОА • ОВ = ОС • OD.

512.* Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

513. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

514. Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

515. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

516. В треугольнике АВС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC= 15 см. Найдите площадь треугольника АВС.

517. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.

518. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.

519. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.

520. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.

521. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 + ВС2 = АВ2 + CD2.

522. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.

523. Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.

524. Стороны треугольника равны 13 см, 5 см и 12 см. Найдите площадь этого треугольника.

525. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС, до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ=13см, ВС = 14 см, АС = 15 см.

526. В ромбе высота, равная см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба.

527. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.

528. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.

529. Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника.

530. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника АВС, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.

531. Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD — в точке К. Найдите площадь четырёхугольника АВКМ.

532. В треугольнике АВС проведена высота ВН. Докажите, что если:

    а) угол А острый, то ВС2 = АВ2 + АС2 - 2АС • АН;
    б) угол А тупой, то ВС2 = АВ2 + АС2 + 2АС • АН.

Ответы к задачам

    501. а) 270 000 м2; б) 0,27 км2.

    502. см2

    503. 20 см.

    504. 900 см2.

    505. Указание. Воспользоваться тем, что перпендикуляр меньше наклонной.

    506. На сторонах ВС и DC квадрата ABCD нужно взять точки М и N так, чтобы BM = 2/3 BC, DN = 2/3 DC и провести прямые AM и AN.

    507. Нет. Указание. Сравнить, например, площади треугольников со сторонами 13, 13, 24 и 12, 12, 12.

    508. Указание. Соединить точку на основании с вершиной, противолежащей основанию, и воспользоваться тем, что сумма площадей двух получившихся треугольников равна площади данного треугольника.

    509. Указание. Задача решается аналогично задаче 508.

    510. Указание. Доказать, что площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма AEDF.

    511. а) и б) Площади треугольников равны, в) Указание. Воспользоваться задачей б) и второй теоремой п. 53.

    512.

    513. 60 м, 14,4 м.

    514. см.

    515. а) 100√3 см2; б) 18 см2.

    516. 320 см2.

    517. 84 см2. Указание. Доказать, что ΔАВС и ΔACD — прямоугольные треугольники.

    518. а) 243 см2; б) 529 см2.

    519. h2.

    520. a2.

    522. 48 см2.

    523. (√2 - 1)а2.

    524. 30 см2.

    525. 30/7 см.

    526. см.

    527. 48 см2.

    528. 30 см2.

    529. 80 см2.

    530. 64√3 см2.

    531. 19,14 см2.

    532. Указание. Воспользоваться теоремой Пифагора.

Рейтинг@Mail.ru