Геометрия
7-9 классы

       

§ 3. Сравнение отрезков и углов

Равенство геометрических фигур

Среди окружающих нас предметов встречаются такие, которые имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Например, два одинаковых листа бумаги, две одинаковые книги, два одинаковых автомобиля. В геометрии две фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры, называют равными.

На рисунке 19 изображены фигуры Ф1 и Ф2. Чтобы установить, равны они или нет, поступим так. Скопируем фигуру Ф1 на кальку. Передвигая кальку и накладывая её на фигуру Ф2 той или другой стороной, попытаемся совместить копию фигуры Ф1 с фигурой Ф2. Если они совместятся, то фигура Ф1 равна фигуре Ф2.

Равенство геометрических фигур

Рис. 19

Мы можем представить себе, что на фигуру Ф2 накладывается не копия фигуры Ф1, равная этой фигуре, а сама фигура Ф1. Поэтому в дальнейшем будем говорить о наложении самой фигуры (а не копии) на другую фигуру. Итак, две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Сравнение отрезков и углов

На рисунке 20, а изображены два отрезка. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рис. 20, б). Если при этом два других конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 20, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС < АВ).

Сравнение отрезков

Рис. 20

Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 21 точка С — середина отрезка АВ.

серединой отрезка

Рис. 21

На рисунке 22, а изображены неразвёрнутые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 22, б).


Рис. 22

Если две другие стороны также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке 22, б угол 1 составляет часть угла 2, поэтому ∠1 < ∠2.

Неразвёрнутый угол составляет часть развёрнутого угла (рис. 23), поэтому развёрнутый угол больше неразвёрнутого угла. Любые два развёрнутых угла, очевидно, равны.

называется биссектрисой угла

Рис. 23

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. На рисунке 24 луч l — биссектриса угла hk.

Задачи к § 3

18. На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точка В лежит между точками О и А, а точка А — между точками О и С. Сравните отрезки ОВ и ОА, ОС и ОА, ОВ и ОС.

19. Точка О является серединой отрезка АВ. Можно ли совместить наложением отрезки:

    а) ОА и ОВ; б) ОА и АВ?

20. На рисунке 25 отрезки АВ, ВС, CD и DE равны. Укажите: а) середины отрезков АС, АЕ и СЕ; б) отрезок, серединой которого является точка D; в) отрезки, серединой которых является точка С.


Рис. 25

21. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и АОС.

22. Луч l — биссектриса угла hk. Можно ли наложением совместить углы: a) hl и lk; б) hl и hk?

23. На рисунке 26 углы, обозначенные цифрами, равны. Укажите: а) биссектрису каждого из углов АОС, BOF, АОЕ; б) все углы, биссектрисой которых является луч ОС.


Рис. 26

Ответы

18. ОВ < ОА; ОС > ОА; ОВ < ОС.

19. а) Да; б) нет.

21. ∠AOC < ∠AOB.

22. а) Да; б) нет.

Рейтинг@Mail.ru