Геометрия
7-9 классы

       

§ 2. Простейшие задачи в координатах

Связь между координатами вектора и координатами его начала и конца

Рассмотрим прямоугольную систему координат и какую-нибудь точку М с координатами (x; у). Напомним, как определяются числа х и у. Проведём через точку М прямые, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через М1 и М2 точки пересечения этих прямых с осями Ох и Оу (рис. 277). Число х (абсцисса точки М) определяется так: х = ОМ1, если М1 — точка положительной полуоси (рис. 277, а), х = -ОМ1, если М1 — точка отрицательной полуоси (рис. 277, б); x = 0, если М, совпадает с точкой О.


Рис. 277

Аналогично определяется число у (ордината точки М). На рисунке 278 изображена прямоугольная система координат Оху и отмечены точки А (3; 2), В (-4; 3), С (-2,5; 0).


Рис. 278

Вектор назовём радиус-вектором точки М. Докажем, что координаты точки М равны соответствующим координатам её радиус-вектора. Воспользуемся равенством (см. рис. 277) и докажем, что Если x > 0 (как на рисунке 277, а), то х = ОМ1, а векторы и сонаправлены. Поэтому Если х < 0 (как на рисунке 277,6), то а векторы и противоположно направлены. Поэтому Наконец, если х = 0, то и равенство в этом случае также справедливо. Таким образом, в любом случае Аналогично доказывается, что

Следовательно, Отсюда следует, что координаты радиус-вектора равны {x; у}, т. е. равны соответствующим координатам точки М, что и требовалось доказать.

Пользуясь доказанным утверждением, выразим координаты вектора через координаты его начала А и конца В. Пусть точка А имеет координаты (x1; y1), а точка В — координаты (x2; у2). Вектор равен разности векторов и (рис. 279), поэтому его координаты равны Разностям соответствующих координат векторов и . Но и радиус-векторы точек В и А, и, значит, имеет координаты {х2; y2}, а имеет координаты {х1; y1}.

Следовательно, вектор имеет координаты {x2 - x1, у2 - у1}.

Таким образом, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

На рисунке 275 точки В и С имеют координаты (1; 4) и (4; 2), поэтому координаты вектора равны {3; -2}.

Простейшие задачи в координатах

Введение системы координат даёт возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

Решим три вспомогательные задачи а) — в).

а) Координаты середины отрезка. Пусть в системе координат Оху точка А имеет координаты (х1; у1), а точка В — координаты (х2; у2). Выразим координаты (х; у) середины С отрезка АВ через координаты его концов.

Так как точка С — середина отрезка АВ, то

(Это равенство было доказано в п. 87.)

Координаты векторов равны соответствующим координатам точек С, А к В: Записывая равенство (1) в координатах, получим:

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

б) Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длина вектора (x; у) вычисляется по формуле

Отложим от начала координат вектор = и проведём через точку А перпендикуляры АА1 и АА2 к осям Ох и Оу (рис. 280). Координаты точки А равны координатам вектора т. е. (х; у). Поэтому ОА1 = |х|, АА1 = ОА2 = |y| (мы рассматриваем случаи, когда х ≠ 0 и у ≠ 0; другие случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме Пифагора

Рис. 280

Но , поэтому , что и требовалось доказать.

в) Расстояние между двумя точками. Пусть точка М1 имеет координаты (х1; у1), а точка М2 — координаты (х2; у2). Выразим расстояние d между точками М1 и М2 через их координаты.

Рассмотрим вектор Его координаты равны {х2 - х1, у2 - y1}. Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле

Но Таким образом, расстояние d между точками М1 (x1; у1) и М2 (х2; у2) выражается формулой

расстояние между точками

Задачи

929. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин треугольника АВО, если: а) ОА = 5, ОВ = 3; б) ОА = а, ОВ = b.

930. Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В — на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин прямоугольника ОАСВ, если: а) ОА = 6,5, ОВ = 3; б) ОА = а, ОВ = b.

931. Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата пересекались в начале координат. Найдите координаты точек М, N и Q.

932. Найдите координаты вершин равнобедренного треугольника АВС, изображённого на рисунке 281, если АВ = 2а, а высота СО рис 281 равна h.

Рис. 281

933. Найдите координаты вершины D параллелограмма ABCD, если А (0; 0), B (5; 0), С (12; -3.).

934. Найдите координаты вектора , зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; 27); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0).

935. Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и найдите х и у:

936. Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вычисления координат середины М отрезка АВ, заполните пустые клетки:

937. Даны точки А (0; 1) и B (5; -3). Найдите координаты точек С и D, если известно, что точка B — середина отрезка АС, а точка D — середина отрезка ВС.

938. Найдите длины векторов:

939. Найдите расстояние от точки М (3; -2): а) до оси абсцисс; б) до оси ординат; в) до начала координат.

940. Найдите расстояние между точками А и B, если: а) А (2; 7), B (-2; 7); б) А (-5; 1), B (-5; -7); в) А (-3; 0), B (0; 4); г) А (0; 3), B (-4; 0).

941. Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0), N (12; -2), B (5;-9).

942. Найдите медиану AM треугольника АВС, вершины которого имеют координаты: А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2).

943. Точки B и С лежат соответственно на положительных полуосях Ох и Оу, а точка А лежит на отрицательной полуоси Ох, причём ОА = а, OB = b, OC = h. Найдите стороны АС и ВС треугольника АВС.

944. Вершина А параллелограмма ОАСВ лежит на положительной полуоси Ох, вершина В имеет координаты (6; с), а ОА = а. Найдите: а) координаты вершины С; б) сторону АС и диагональ СО.

945. Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с основаниями ОА = а и ВС = d, если точка А лежит на положительной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (b; с).

946. Найдите х, если: а) расстояние между точками А (2; 3) и В (х; 1) равно 2; б) расстояние между точками М1 (-1; х) и М2 (2х; 3) равно 7.

947. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1).

94. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (-3; 5) и B (6; 4); б) С (4; -3) и D (8; 1).

949. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек: а) А (1; 2) и B (-3; 4); б) С (1; 1) и B (3; 5).

950. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если:

    а) М (1; 1), (6; 1), B (7; 4), Q (2; 4);
    б) М (-5; 1), N(-4; 4), Р (-1; 5), Q (-2; 2).

951. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если:

    а) А (-3; -1), B (1; -1), С (1; -3), D (-3; -3);
    б) А (4; 1), B (3; 5), С (-1; 4), D (0; 0).

Применение метода координат к решению задач

Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Обозначим буквой М середину гипотенузы АВ. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 282. Если ВС = а, АС = b, то вершины треугольника имеют координаты С (0; 0), В (а; 0), А (0; b). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки М:

Рис. 282

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков МС и МА:

Таким образом, МА = МВ = МС, что и требовалось доказать.

953. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283.

Рис. 283

Если AD = BC = a, а точка В имеет координаты (b; с), то точка D имеет координаты (а; 0), а точка С — координаты (а + b; с). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

    АВ2 = b2 + с2, AD2 = а2, АС2 = (а + b)2 + с2, BD2 = (а - b)2 + с2.

Отсюда получаем:

    АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = 2 (АВ2 + AD2) = 2 (a2 + b2 + с2),

    АС2 + BD2 = (а + b)2 + с2 + (а - b)2 + с2 = 2 (а2 + b2 + с2).

Таким образом,

    АВ2 + ВС2 + CD2 + DA2 = АС2 + BD2,

что и требовалось доказать.

954. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

955. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон.

956. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

957. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

958. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство

    AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2.

Ответы

    929. а) А (5; 0), В (0; 3), О (0; 0); б) А (а; 0), В (0; b), О (0; 0).

    930. а) О (0; 0), А(6,5; 0), С(6,5; 3), В (0; 3); б) О (0; 0), А (а; 0), С (а; b), В (0; b).

    931. М (3; -3), N (3; 3), Q (-3; -3) или М (3; -3), N (-3; -3), Q (3; 3).

    932. А (-а; 0), В (а; 0), С (0; h).

    933. (7; -3).

    934. a) {-4; 0}; б) {0; 26}; в) {3; 4}; г) {-4; -3}.

    935. 1) {1; 1}; 2) х = -3, у = -4; 3) А (6; 1,5); 4) B (a + c; b + d); 5) B(1; 2).

    936. 1) M(-0,5; -1);46-3 2) A (-10;-11); 3) B(6; -11); 4) M (-1,5; 3,5); 5) B (2a - c; 2b - d); 6) M(3; 6,5); 7) M(2t + 6; 0); 8) B(-1; -3).

    937. C (10; -7), В (7,5; -5).

    938. а) √106; 6) 5; в) 10√2; г) √389; д) 11√2; е) 10.

    939. а) 2; б) 3; в) √13.

    940. а) 4; б) 8; в) 5; г) 5.

    941. √82 + 2√17 + 7√2.

    942. √13.

    943.

    944. a) С (а + 6; с); б)

    945.

    946. а) 2; б) 3 или -2,6.

    947. а) 13; б) 6.

    948. а) (0; -9); б) (0; 5).

    949. а) (-2,5; 0); б) (8; 0).

    950. а) MP = 3√5, NQ = 5; б) МР = 4√2, iVQ = 2√2.

    951. Указание. Доказать, что отрезки АС и BD равны и их середины совпадают, а) 8; б) 17.

    954. 100см, 100см. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 281.

    955. 13 см. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы основание треугольника лежало на оси Ох, а высота — на оси Оу.

    956. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы одно из оснований трапеции лежало на оси Ох, а его концы были симметричны относительно начала координат.

    957. Указание. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 283, и доказать, что 6 = 0.

    958. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы лучи АВ и AD были положительными полуосями.

Рейтинг@Mail.ru

Содержание