Содержание

Главная >> Математика 5 класс. Виленкин

§ 4. Площади и объёмы

18. Площадь. Формула площади прямоугольника

Фигура на рисунке 62 состоит из 8 квадратов со стороной 1 см каждый. Площадь одного такого квадрата называют сантиметром. Пишут: 1 см². Значит, площадь всей фигуры равна 8 см².

Если какую-нибудь фигуру можно разбить на р квадратов со стороной 1 см, то её площадь равна р см².

Прямоугольник на рисунке 63 состоит из 3 полос, каждая из которых разбита на 5 квадратов со стороной 1 см. Весь прямоугольник состоит из 5 • 3 = 15 таких квадратов, и его площадь равна 15 см².

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо умножить его длину на ширину.

Запишем это правило в виде формулы. Площадь прямоугольника обозначим буквой S, его длину — буквой а, а ширину — буквой b.
Получаем формулу площади прямоугольника:
S = ab.

Две фигуры называют равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Линия KLMN на рисунке 64 разбивает прямоугольник ABCD на две части. Одна из частей имеет площадь 12 см², а другая — 9 см². Площадь всего прямоугольника равна 3 • 7, то есть 21 см². При этом 21 = 12 + 9.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Отрезок АС разбивает прямоугольник на два равных треугольника: АВС и ADC (рис. 65).

Площадь каждого треугольника равна половине площади всего прямоугольника.

Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами.

Если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 • 4, то есть 42 см² = 16 см².

Если сторона квадрата равна о, то площадь S квадрата равна а • а = а².
Значит, формула площади квадрата имеет вид
S = а².

Именно поэтому запись а² называют квадратом числа а.

709. Какие из флажков на рисунке 66 равны?

710. Равны ли друг другу листы одной тетради? Почему?

711. Равны ли выкройка и вырезанный по ней кусок материи?

712. Найдите равные фигуры на рисунке 67. Сколько клеточек содержит каждая фигура на этом рисунке?

713. Треугольники АВС и DEP равны. Чему равен периметр треугольника DEP, если АВ = 3 см, ВС = 4 см, СА = 5 см?

714. Какие из отрезков АВ, МР, CD, OK, EF равны, если АВ = 3 см, МР = 5 см, CD = 30 мм, ОК = 50 мм, EF = 84 см?

715. Найдите площадь каждой фигуры, изображённой на рисунке 68, если условиться, что длина стороны каждой клетки равна 1 см.

716. Найдите площадь прямоугольника, длина которого равна 5 см, а ширина — 2 см.

717. Длина прямоугольника ABCD равна 28 см, а его ширина в 7 раз меньше. Чему равна площадь прямоугольника?

718. Ширина прямоугольника KNMT равна 26 см, а его длина на 14 см больше. Чему равна площадь прямоугольника KNMT? Чему равна площадь каждого из треугольников, на которые разбивает отрезок КМ этот прямоугольник?

719. Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.

720. Чему равна сторона квадрата, если его площадь 36 см²?

721. Приведите примеры неравных фигур, имеющих равные площади.

722. Два прямоугольника имеют равные площади. Длина первого прямоугольника 16 см, а его ширина на 12 см меньше длины. Длина второго прямоугольника 32 см. Найдите ширину второго прямоугольника.

Чему равна сторона квадрата, имеющего такую же площадь, что и эти прямоугольники?

723. Вычислите устно:

724. Восстановите цепочку вычислений:

725. Вычислите: 3!; 6!; 7!.

726. Составьте условие задачи по уравнению:

а) 14t = 70; б) 5 = 60; в) 2(а + 8) = 40.

727. Можно ли указать число, которое не является корнем уравнения:

а) х : х = 1; б) 0 : х = 0; в) m : 0 = 0; г) • 1 = ?

728. Как изменится произведение двух чисел, если второе число увеличить: на 1? на 2? в 2 раза? Приведите примеры.

729. Какой получится результат, если:

а) наименьшее четырёхзначное число умножить на 100;
б) число, записанное единицей с пятью последующими нулями, разделить на 100?

730. Существуют такие тройки чисел а, b, с, что а² + b² = с². Например, 6² + 8² = 10². (Проверьте!) Обладают ли таким свойством тройки чисел: а) 7, 24, 25; б) 20, 21, 29? Попробуйте найти ещё такие тройки.

731. Обозначим буквой х число деталей, которые изготовляет рабочий за 1 ч, а буквой у — число деталей, которые он изготовит за а ч. Напишите формулу, выражающую у через а и х.

732. Обозначим буквой х цену 1 кг товара, а буквой у — стоимость а кг этого товара. Напишите формулу, выражающую у через а и х.

733. В среду в пятом классе пять уроков: математика, физкультура, история, русский язык и природоведение. Сколько различных вариантов расписания на среду можно составить?

734. Решите задачу:

а) Велосипедист за час проезжает 15 км, а мотоциклист — в 3 раза больше. На сколько больше проедет мотоциклист, чем велосипедист, за 8 ч?

б) На обычном станке рабочий делает 15 деталей за час, а на станке с ЧПУ (числовым программным управлением) — в 3 раза больше. На сколько больше деталей он сделает на станке с ЧПУ, чем на обычном станке, за 8 часов работы?

в) Масса алюминиевой детали 15 г, а стальной — в 3 раза больше. На сколько масса 8 стальных деталей больше массы 8 алюминиевых?

Сравните решения этих трёх задач. Придумайте похожие на них задачи, но с другим содержанием.

735. Решите задачу:

1) Расстояние между посёлком и городом 144 км. Сколько времени затратил человек на дорогу туда и обратно, если в город он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч, а возвращался на автомобиле со скоростью 72 км/ч?

2) Расстояние между пристанями 378 км. Сколько времени потребуется теплоходу, чтобы проплыть туда и обратно, если его скорость по течению реки 27 км/ч, а против течения 21 км/ч?

736. Выполните действия:

1) (6656 : 512 + 28)•(1524 : 127 - 7) - 150;
2) (4992 : 384 - 8) • (8496 : 236 + 15) + 145.

737. Длина прямоугольника 65 см, а его ширина в 5 раз меньше. Чему равна площадь прямоугольника?

738. Площадь прямоугольника 136 см2. Чему равна его длина, если его ширина 8 см?

739. Начертите прямоугольник ABCD, соедините отрезком вершины А и С. Найдите площади треугольников АВС и ACD, если АВ = 6 см и ВС = 5 см.

740. Постройте квадрат ABCD со стороной 4 см и проведите в нём отрезки АС и BD. Чему равна площадь каждого из четырёх получившихся треугольников? Сложите из двух таких треугольников новый квадрат. Чему равна его площадь?

741. Используя формулу пути s = t, найдите:

а) путь, который пролетит муха за 3 с, если её скорость 5 м/с;
б) время, за которое ласточка пролетит 162 км, если её скорость 54 км/ч;
в) скорость собаки, которая за 5 с пробежала 25 м.

742. Используя формулу периметра прямоугольника Р = 2(а + b), найдите:

а) периметр Р, если а = 3 м 5 дм, b = 1 м 2 дм;
б) сторону а, если Р = 3 дм, b = 6 см.

743. В 15 ч со станции вышел электропоезд со скоростью 80 км/ч, а через 1 ч с той же станции вслед за ним вышел второй электропоезд со скоростью 75 км/ч. Какое расстояние будет между ними в 18 ч того же дня?

744. Выразите:

а) в метрах: 5 км; 5 км 30 м; 200 дм; 30 000 см;
б) в дециметрах: 3 м; 7 м 9 дм; 500 см; 7000 м.

745. Выполните действия:

(38 • 216 : 57 + 3780 : 108 - 10) : 13.

746. На рисунке 69, а изображены три фигуры, а на рисунке 69, б показан их вид сверху. Верно ли выполнен второй рисунок? Если неверно, то скажите, что надо в нём изменить.